Problema matemático en Talentos Ocultos

Al comienzo de la película Talentos Ocultos (Hidden Figures)
hay una escena en la que al personaje infantil de Katherine G. Johnson le piden resolver un problema matemático.

Talentos ocultos problema
Encuentra el valor de x.

Claro que podemos hacerlo a la “antigüita”, pero aquí se trata de usar las herramientas que tenemos a la mano y Wolfram Alpha es muy bueno en este tipo de problemas.

Captura de pantalla de wolfram alpha
Excelente trabajo Wolfram Alpha.

Ojalá hubiera tenido este tipo de herramientas durante la secundaria/preparatoria. Como pueden ver existen 4 valores posibles para X. Vamos hasta hace la gráfica de la ecuación y en donde la línea toca el eje de las X esos son los valores que estamos buscando.

Se que algunos dirán que eso es “hacer trampa”, pero durante el desarrollo de la película verán que no es así. Para poder enviar una persona al espacio tuvieron que hacer uso de todos los recursos posibles. Si eran 30 mujeres haciendo operaciones a mano lo hacían. Luego consiguieron una “ultra moderna” computadora IBM y la hicieron funcionar y eso les ahorró mucho tiempo y trabajo.

Ahora hay un montón de herramientas disponibles, pero no saben qué hacer con ellas. Tampoco saben interpretar los resultados y si no pueden hacer eso ¿Qué caso tiene factorizar correctamente una ecuación? si nunca lo van a volver a hacer.

El gran problema de enseñar matemáticas actualmente es que no hay una conexión con un problema real.

Graficar la ecuación con Octave

Luego de un tiempo me pregunté si podría graficar la ecuación usando Octave que es otra maravilla de software libre.

Pues para mi sorpresa y aunque el programa solo tiene  3 líneas de código aprendí mucho en el camino.

Por ejemplo, al principio declaré el valor de x de la siguiente forma:

x  = -10:10

De esta forma recorre el valor de x -10 a 10 intervalos de 1, o sea – 10, -9, -8, etc. pero la gráfica salía un poco tosca, de la forma que la escribí es con aumentos de 0.1, es más tardado, pero la gráfica es mucho más suave.

La segunda línea la tomé de Wolfram Alpha, es la segunda Alternate Form que si se fijan, es el resultado de la multiplicación de las dos ecuaciones.

Bueno pues así se calcula el valor de y  y lo escribí en una línea, pero me llevé una sorpresa al momento de querer calcular la potencia en Octave.

Como pueden ver, para elevar un número a una potencia se utiliza el operador ^, por ejemplo 2 al cubo sería 2^3. Sin embargo, de esta forma me lanza un error.

error: for x^A, A must be a square matrix.  Use .^ for elementwise power.

Pues al principio me saqué de onda, muchos lenguajes de programación no tienen problema con la forma en la que lo escribí. Luego me di cuenta de que el operador correcto era .^ .  Supongo que x tiene algo que ver ya que no es un número, más bien es un vector.

Lo demás es usar la función plot y voalá

graficando una función en octave
El resultado del experimento.

En resumen, vi una película con un problema de álgebra, luego quise revisar si la solución que estaba en el pizarrón era la correcta (si lo era). Lo quise comprobar y usé una herramienta en línea. Los estudiantes también la pueden utilizar para comprobar si sus operaciones son correctas. Luego quise hacer algo usando otro programa y lo logré.

Durante el trayecto cometí errores ¡Aprendí algo que no sabía!. Ahora solo me falta encontrar una aplicación y ahí es donde fallamos :(. Lo que no se usa está destinado a olvidarse.

No se si le están enseñando a los niños cosas antes de tiempo, si es mejor usar las herramientas disponibles o no. ¿No sería mejor enseñar todo esto hasta que se va a utilizar?.

Bueno les pido una disculpa, porque creo que ya estoy divagando demasiado. Al menos no me quedé con las ganas de probar y comprobar algo.

Buscando a Firulais, meme matemático

El otro día me llegó un meme muy simpático con un problema matemático que dice:

Un perro que persigue un automóvil recorre 20 m al norte y 30 m al oeste, ¿cuál es la posición final del perro con respecto al punto donde comenzó?

Meme matemático
Meme matemático

La respuesta de la imagen es divertida. Pero pensándolo un poco, no es difícil encontrar al pobre de Firulais.

Publiqué este problema en google plus y me dieron una buena cantidad de respuestas, algunas acertadas, otras que nada que ver, unas incompletas y bueno, las divertidas.

Los que no recibieron ayuda de sus padres …

Claro que hubo comentarios divertidos (o eso creo). Los que se dedicaron a seguirle con el chiste respondieron:

  • Esta si me dio risa — Detrás del automóvil.
  • El que cree, pero no esta seguro — Según teorema de pitágoras serían 22.3 metros en diagonal al noroeste creo.
  • El animalista  — Que raza de perrito será? :/
  • El materialista — Oye y a que numero llamo si encuentro a firulais
  • El que no quiere a su perro — Está a 50 metros al oeste.
  • El visual — ¡Echado!

Hubo quien se río primero y luego aceptó el reto. ¡Bien por ellos!. Hay varias formas de resolver el problema.

Coordenadas cartesianas.

Me parece que la imagen fue tomada de un libro de matemáticas de secundaria y la solución más obvia es establecer la posición de firulais en un plano cartesiano.

Ubicación de firulais en el plano cartesiano
Ubicación de firulais en el plano cartesiano.

Entonces la solución más obvia es que Firulais esta 30 metros al oeste y 20 metros al norte. ¿Así de simple? pues si, el problema pide la posición del perro y nada más. Con estas coordenadas es fácil encontrarlo.

¡Pitágoras al rescate! o eso creo…

Al leer el problema algunos de mis lectores recordaron algo que a todos nos suena familiar. El famosísimo teorema de pitágoras.  Claro que se puede aplicar, tenemos dos lados del triángulo, así que calcular la hipotenusa es muy sencillo.

usando wolfram alpha
¿Han usado WolframAlpha? es una maravilla 🙂

El resultado nos dice que Firulais esta a 36.0555 metros con respecto al su punto de partida. Pero lamentablemente ese número representa una distancia no es una posición 🙁 .

La distancia no es una posición.
La distancia no es una posición.

Como pueden ver en la imagen, hay una cantidad indefinida de puntos alrededor del origen que también tienen esa distancia. Para ubicar a Firulais hace falta un dato más.

Trigonometría ¡Gulp!.

Se que sintieron escalofríos tan solo de escuchar la palabra trigonometría y no los culpo. Ninguno llegó a este punto. Algunos intuyeron que era necesario establecer hacia donde había que dirigirse y mencionaron la palabra noroeste. Y aunque esta declaración es correcta, es imprecisa.

Para conocer el rumbo exacto hay que desempolvar las fórmulas trigonometricas para obtener un ángulo.

Distancia y Rumbo
Distancia y rumbo.

Esto si ya es un poco más complicado. Voy a utilizar la función seno (cateto opuesto sobre hipotenusa), bueno, más bien el arcoseno porque lo que me interesa obtener es el ángulo.

Calculando el rumbo
Calculando el rumbo

Y ahora sí, se puede decir que Firulais está a 36.05 metros de distancia con un rumbo de 56.31º norte – oeste.

Para ilustrar este artículo se utilizó el editor de imágenes Gimp , el programa de diseño vectorial Inkscape, el software educativo Geogebra y para hacer los cálculos la página de internet Wolfram Alpha que es una joya.

Ahora que tenemos bien ubicadito a Firulais, solo falta cobrar los 10,000 dólares !!!. ¿A dónde hay que pasar a cobrarlos? Mmmmm creo que eso si que va a estar mucho más difícil.

Problemas matemáticos mal redactados

La semana pasada mi sobrina presentó un exámen para un concurso de matemáticas. Me mostró la hoja con los problemas y algunas de sus respuestas. Me interesó mucho el papelito y junto con mi otro sobrino empezamos a resolver el cuestionario.

Todo iba perfecto, nada fuera del otro mundo hasta que nos topamos con el problema 5 que voy a reproducir.

Del número 2016 se agarran cualesquiera de sus dígitos para formar un nuevo, por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc. ¿Cuántos números distintos se pueden formar? Nota: Los números no pueden iniciar en 0.

(a) 24    (b) 47    (c) 48    (d) 49    (e) 64

Al intentar abordar este problema me surgieron varias dudas, intenté un enfoque, luego otro y al releerlo tuve una revelación. ¡Hay un número infinito de soluciones!. Más adelante les explico la razón.

El problema está tan mal redactado que es sujeto a muchas suposiciones, demasiadas para mi gusto, pero quise averiguar si alguién más llegaba a la misma conclusión que yo.

El experimento social.

Elaboré una imagen con la descripción del problema y una breve historia. Lo publiqué en Twitter, Facebook y Google Plus.

Como pueden ver, a la fecha de publicación de este artículo el tuit no ha juntado ni un miserable corazoncito. Vamos que no se le pararon ni las moscas.

En Facebook tuve uno que otro comentario (sin intentar resolver el problema), hasta que llegó una amiga maestra de matemáticas que dio algo de luz sobre el tema y confirmó mis sospechas.

La sorpresa fue la publicación en Google Plus con más de 100 comentarios con algunos intentos serios por resolver el acertijo planteado. Pero al momento de plantear algunas dudas fallaron al percatarse de la pobre redacción del problema.

Permutaciones y combinaciones.

Desde mi punto de vista parece que la intención era hacer un problema sobre permutaciones. Para verme un poco formal le voy a pedir ayuda a la wikipedia.

Una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.

Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos:”1,2,3″,”1,3,2″,”2,1,3″,”2,3,1″,”3,1,2″,”3,2,1″

Empiezan los problemas.

El detalle es que hasta para las permutaciones hay varias consideraciones.

  • Existen permutaciones en las que se permite repetir elementos.
  • Permutaciones sin repetición.
  • En donde el orden no importa
  • Y otras donde sí es importa

Y cada una tiene una forma diferente para calcularse en base a estas consideraciones.

No voy a entrar mucho en el rigor matemático sino más bien en los problemas de redacción.

¿Cuántos números distintos se pueden formar?

El problema pregunta cuántos números distintos se pueden formar, pero no aclara si los dígitos se pueden o no repetir. Por lo tanto este enfoque es válido.

  • 1
  • 11
  • 111
  • 1111 y así sucesivamente.

Todos son números distintos formados con los dígitos proporcionados y no empiezan con cero.

El tamaño de los números.

Lo anterior expone a la luz el segundo problema, no hay un límite para el tamaño de los números. Muchos llegan a suponer que son de 4 cifras, pero el problema es poco claro:

por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc.

En el ejemplo dice que primero las cantidades que se pueden formar con una cifra , luego con dos, con tres y así sucesivamente ¡NO ESTABLECE UN LÍMITE!. Al contrario, parece indicar que la secuencia se repite hasta el infinito obteniendo una cantidad no determinada de números distintos.

¿Y el cero?

Pero se acuerdan de la pequeña nota al final, aquella que se usa para “destantear al enemigo”.

Nota: Los números no pueden iniciar en 0.

Muchos contestaron que era un problema de permutaciones. GNU/Octave tiene una función para calcularlas tal y como pueden ver en la imagen.

Octave y la función perms
Las permutaciones que comienzan con cero.

En este caso da un total de 24 permutaciones, pero si quitamos las 6 que comienzan con cero quedan solamente 18.

¿Cual es la respuesta correcta?

El problema No. 5
El problema No. 5

No se olvide que este problema es parte de un exámen y hay un límite de tiempo para contestarlo.

Algunos sospechamos que la respuesta que se presume correcta es 24 aunque tendría que pasarse por el “arco del triunfo” la nota de los números que comienzan en cero.

¿Usted que hubiera contestado?

El problema que veo es si la persona que redactó el examen ¿Sabe lo que está escribiendo? ¿Alguien se habrá dado cuenta de la pobre redacción de este problema?.  ¿Los Alumnos tienen que justificar su respuesta con un desarrollo o con la venia de la moneda de la suerte es más que suficiente?

Un misterio más para la araña.