Problemas matemáticos mal redactados

La semana pasada mi sobrina presentó un exámen para un concurso de matemáticas. Me mostró la hoja con los problemas y algunas de sus respuestas. Me interesó mucho el papelito y junto con mi otro sobrino empezamos a resolver el cuestionario.

Todo iba perfecto, nada fuera del otro mundo hasta que nos topamos con el problema 5 que voy a reproducir.

Del número 2016 se agarran cualesquiera de sus dígitos para formar un nuevo, por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc. ¿Cuántos números distintos se pueden formar? Nota: Los números no pueden iniciar en 0. (a) 24    (b) 47    (c) 48    (d) 49    (e) 64

Al intentar abordar este problema me surgieron varias dudas, intenté un enfoque, luego otro y al releerlo tuve una revelación. ¡Hay un número infinito de soluciones!. Más adelante les explico la razón.

El problema está tan mal redactado que es sujeto a muchas suposiciones, demasiadas para mi gusto, pero quise averiguar si alguién más llegaba a la misma conclusión que yo.

El experimento social.

Elaboré una imagen con la descripción del problema y una breve historia. Lo publiqué en Twitter, Facebook y Google Plus.

Como pueden ver, a la fecha de publicación de este artículo el tuit no ha juntado ni un miserable corazoncito. Vamos que no se le pararon ni las moscas.

En Facebook tuve uno que otro comentario (sin intentar resolver el problema), hasta que llegó una amiga maestra de matemáticas que dio algo de luz sobre el tema y confirmó mis sospechas.

La sorpresa fue la publicación en Google Plus con más de 100 comentarios con algunos intentos serios por resolver el acertijo planteado. Pero al momento de plantear algunas dudas fallaron al percatarse de la pobre redacción del problema.

Permutaciones y combinaciones.

Desde mi punto de vista parece que la intención era hacer un problema sobre permutaciones. Para verme un poco formal le voy a pedir ayuda a la wikipedia.

Una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.

Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos:”1,2,3″,”1,3,2″,”2,1,3″,”2,3,1″,”3,1,2″,”3,2,1″

Empiezan los problemas.

El detalle es que hasta para las permutaciones hay varias consideraciones.

  • Existen permutaciones en las que se permite repetir elementos.
  • Permutaciones sin repetición.
  • En donde el orden no importa
  • Y otras donde sí es importa

Y cada una tiene una forma diferente para calcularse en base a estas consideraciones.

No voy a entrar mucho en el rigor matemático sino más bien en los problemas de redacción.

¿Cuántos números distintos se pueden formar?

El problema pregunta cuántos números distintos se pueden formar, pero no aclara si los dígitos se pueden o no repetir. Por lo tanto este enfoque es válido.

  • 1
  • 11
  • 111
  • 1111 y así sucesivamente.

Todos son números distintos formados con los dígitos proporcionados y no empiezan con cero.

El tamaño de los números.

Lo anterior expone a la luz el segundo problema, no hay un límite para el tamaño de los números. Muchos llegan a suponer que son de 4 cifras, pero el problema es poco claro:

por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc.

En el ejemplo dice que primero las cantidades que se pueden formar con una cifra , luego con dos, con tres y así sucesivamente ¡NO ESTABLECE UN LÍMITE!. Al contrario, parece indicar que la secuencia se repite hasta el infinito obteniendo una cantidad no determinada de números distintos.

¿Y el cero?

Pero se acuerdan de la pequeña nota al final, aquella que se usa para “destantear al enemigo”.

Nota: Los números no pueden iniciar en 0.

Muchos contestaron que era un problema de permutaciones. GNU/Octave tiene una función para calcularlas tal y como pueden ver en la imagen.

Octave y la función perms
Las permutaciones que comienzan con cero.

En este caso da un total de 24 permutaciones, pero si quitamos las 6 que comienzan con cero quedan solamente 18.

¿Cual es la respuesta correcta?

El problema No. 5
El problema No. 5

No se olvide que este problema es parte de un exámen y hay un límite de tiempo para contestarlo.

Algunos sospechamos que la respuesta que se presume correcta es 24 aunque tendría que pasarse por el “arco del triunfo” la nota de los números que comienzan en cero.

¿Usted que hubiera contestado?

El problema que veo es si la persona que redactó el examen ¿Sabe lo que está escribiendo? ¿Alguien se habrá dado cuenta de la pobre redacción de este problema?.  ¿Los Alumnos tienen que justificar su respuesta con un desarrollo o con la venia de la moneda de la suerte es más que suficiente?

Un misterio más para la araña.

Calcular el determinante de una matriz usando software libre

Durante mi estancia en la universidad llevé la materia de álgebra lineal, les juro que salíamos viendo lucecitas después de calcular determinantes e inversas de matrices.

En aquellos días una calculadora que hiciera estas operaciones era muy costoso, sólo los más adinerados llegaban con algunos modelos espectaculares de la marca CASIO o Texas Instruments.

Pero ahora todo ha cambiado, afortunadamente hay excelentes herramientas libres para hacer este tipo de operaciones con poco esfuerzo.

No voy a explicar como se calcula un determinante, sin embargo al momento de estudiar puede ser de mucha ayuda revisar nuestros cálculos.

Para este ejemplo voy a usar los datos de esta matriz.

matriz 3x3 de ejemplo

Smath Studio

Smath Studio es una herramienta totalmente gráfica, así que para ingresar los datos de la matriz sólo tengo que teclear A= y después el menú Insertar – Matriz. Especifico el tamaño de la matriz que es de 3×3 y luego voy rellenando los valores de cada casilla con los datos de ejemplo.

Calcular el determinante de una matriz 3x3 usando smath studio

Para calcular el determinante tecleo det(A)= y smath studio se encarga de representarlo de manera adecuada y mostrar un resultado.

Mirai Math

Mirai Math es una interfaz gráfica de GNU Octave, en este caso es el cálculo es tal y como pueden ver en la imagen.

Calcular el determinante de una matriz 3x3 usando mirai math

LibreOffice Calc

LibreOffice tiene una función para el cálculo de un determinante MDETERM y se usa como cualquier función de una hoja de cálculo.

Calcular el determinante de una matriz 3x3 usando libre office

Wolfram Alpha

Este ¿buscador? o lo que sea, no se si catalogarlo como herramienta libre, pero tiene una enorme cantidad de herramientas matemáticas al alcance de un navegador, incluso cuenta con un un widget para realizar operaciones con matrices.

Se los dejo por si quieren hacer la prueba.

Después de todos usar todas estas herramientas, ¿Alguien me puede decir el determinante de la matriz A del ejemplo?

Enlaces

Smath Studio: Ayuda con las matemáticas.

SMath Studio - Teorema de pitagoras

A la mayoría de los pequeñines (y los adultos) no les gustan las matemáticas. No se si el problema es que no lo saben enseñar o a los alumnos no les interesa. Pero lo cierto es que las matemáticas mueven y sostienen al mundo. Es imposible escapar de su influencia.

En alguna ocasión intenté explicar algunos conceptos y me di cuenta de que no estaba usando la herramienta correcta. Una hoja de cálculo puede servir para muchas cosas, pero para otras simplemente no funciona, es demasiado tabular, ya saben, renglones y columnas. Con una calculadora se presionan tantos botones que al final se olvida el concepto que se quiere explicar.

Smath studio es como hacer los problemas en papel, con la gran diferencia de que en el camino va resolviendo las operaciones y modificando sus resultados. Te ayuda a concentrarte en los conceptos, no en las operaciones.

smath studio - gráfica en 3d animada

Es un programa muy completo, claro que al principio cuesta un poco de trabajo adaptarse a su estilo de trabajo. Por ejemplo, no hay una opción para cambiar el tipo de letra, aunque en matemáticas, eso es lo de menos.

Soporta funciones, programación, matrices, fracciones, gráficas en 2 , en 3 dimensiones y operaciones que para ser sincero, no sabía que existían ¿Qué más se puede pedir?.

Sus foros están llenos de ejemplos y si solo quieres probar el programa sin instalarlo también cuenta con una página que se llama Smath Studio Live.

Smath studio es un programa que igual te puede servir para explicar los quebrados, resolver problemas de física, química, álgebra, trigonometría y un largo etcétera.

Disponible en versiones para windows y linux.

Para saber más