La semana pasada mi sobrina presentó un exámen para un concurso de matemáticas. Me mostró la hoja con los problemas y algunas de sus respuestas. Me interesó mucho el papelito y junto con mi otro sobrino empezamos a resolver el cuestionario.
Todo iba perfecto, nada fuera del otro mundo hasta que nos topamos con el problema 5 que voy a reproducir.
Del número 2016 se agarran cualesquiera de sus dígitos para formar un nuevo, por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc. ¿Cuántos números distintos se pueden formar? Nota: Los números no pueden iniciar en 0.
(a) 24 (b) 47 (c) 48 (d) 49 (e) 64
Al intentar abordar este problema me surgieron varias dudas, intenté un enfoque, luego otro y al releerlo tuve una revelación. ¡Hay un número infinito de soluciones!. Más adelante les explico la razón.
El problema está tan mal redactado que es sujeto a muchas suposiciones, demasiadas para mi gusto, pero quise averiguar si alguién más llegaba a la misma conclusión que yo.
El experimento social.
Elaboré una imagen con la descripción del problema y una breve historia. Lo publiqué en Twitter, Facebook y Google Plus.
Me encontré con este acertijo matemático en un examen de mi sobrina que está en secundaria. Me gustaría confirmar mi resultado 🙂 #Math pic.twitter.com/RRYE23R8h2
— Linuxman R4 (@linuxmanR4) 28 de noviembre de 2016
Como pueden ver, a la fecha de publicación de este artículo el tuit no ha juntado ni un miserable corazoncito. Vamos que no se le pararon ni las moscas.
En Facebook tuve uno que otro comentario (sin intentar resolver el problema), hasta que llegó una amiga maestra de matemáticas que dio algo de luz sobre el tema y confirmó mis sospechas.
La sorpresa fue la publicación en Google Plus con más de 100 comentarios con algunos intentos serios por resolver el acertijo planteado. Pero al momento de plantear algunas dudas fallaron al percatarse de la pobre redacción del problema.
Permutaciones y combinaciones.
Desde mi punto de vista parece que la intención era hacer un problema sobre permutaciones. Para verme un poco formal le voy a pedir ayuda a la wikipedia.
Una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.
Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos:”1,2,3″,”1,3,2″,”2,1,3″,”2,3,1″,”3,1,2″,”3,2,1″
Empiezan los problemas.
El detalle es que hasta para las permutaciones hay varias consideraciones.
- Existen permutaciones en las que se permite repetir elementos.
- Permutaciones sin repetición.
- En donde el orden no importa
- Y otras donde sí es importa
Y cada una tiene una forma diferente para calcularse en base a estas consideraciones.
No voy a entrar mucho en el rigor matemático sino más bien en los problemas de redacción.
¿Cuántos números distintos se pueden formar?
El problema pregunta cuántos números distintos se pueden formar, pero no aclara si los dígitos se pueden o no repetir. Por lo tanto este enfoque es válido.
- 1
- 11
- 111
- 1111 y así sucesivamente.
Todos son números distintos formados con los dígitos proporcionados y no empiezan con cero.
El tamaño de los números.
Lo anterior expone a la luz el segundo problema, no hay un límite para el tamaño de los números. Muchos llegan a suponer que son de 4 cifras, pero el problema es poco claro:
por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc.
En el ejemplo dice que primero las cantidades que se pueden formar con una cifra , luego con dos, con tres y así sucesivamente ¡NO ESTABLECE UN LÍMITE!. Al contrario, parece indicar que la secuencia se repite hasta el infinito obteniendo una cantidad no determinada de números distintos.
¿Y el cero?
Pero se acuerdan de la pequeña nota al final, aquella que se usa para “destantear al enemigo”.
Nota: Los números no pueden iniciar en 0.
Muchos contestaron que era un problema de permutaciones. GNU/Octave tiene una función para calcularlas tal y como pueden ver en la imagen.
En este caso da un total de 24 permutaciones, pero si quitamos las 6 que comienzan con cero quedan solamente 18.
¿Cuál es la respuesta correcta?
No se les olvide que este problema es parte de un exámen y hay un límite de tiempo para contestar.
Algunos sospechamos que la respuesta que se presume correcta es 24 aunque tendría que pasarse por el “arco del triunfo” la nota de los números que comienzan en cero.
¿Usted que hubiera contestado?
El problema que veo es si la persona que redactó el examen ¿Sabe lo que está escribiendo? ¿Alguien se habrá dado cuenta de la pobre redacción de este problema?. ¿Los Alumnos tienen que justificar su respuesta con un desarrollo o con la venia de la moneda de la suerte es más que suficiente?
Un misterio más para la araña.
En este problema el numero de combinaciones se debería delimitar por la cantidad de dígitos que deben tener los nuevos números, si lo dejas sin el numero de dígitos a formar en cada numero si obtendríamos una respuesta infinita.
Son 48 combinaciones. Te dice: “cualesquiera de sus dígitos” y esos dígitos son 2, 0, 1 y 6, ¿por qué habrían de repetirse si no te lo especifican así? Lógicamente, si se repitiesen la solución sería infinita pues tampoco te dice cuántas veces pueden repetirse. La verdad no le veo tanta confusión…
La repetición no tendría tanto problema. La longitud de las cifras si.
bueno si son los dígitos 2,0,1,6 y tomaremos esos números para hacer combinaciones de 4 serian 24, pero ahí entrarían números que inician con 0, eso restaría 6 combinaciones al total de 24, en general el problema si esta mal redactado. en todo caso serian 18.
1.-2,0,1,6
2.-2,0,6,1
3.-2,1,0,6
4.-2,1,6,0
5.-2,6,0,1
6.-2,6,1,0
7.-0,2,1,6
8.-0,2,6,1
9.-0,1,2,6
10.-0,1,6,2
11.-0,6,2,1
12.-0,6,1,2
13.-1,2,0,6
14.-1,2,6,0
15.-1,0,2,6
16.-1,0,6,2
17.-1,6,2,0
18.-1,6,0,2
19.-6,2,0,1
20.-6,2,1,0
21.-6,0,2,1
22.-6,0,1,2
23.-6,1,2,0
24.-6,1,0,2
las 24 posibles combinaciones, esta es mi respuesta pero como se dice coloquial mente es por que tengo los pelos de la burra en la mano, me encantan estas combinaciones para los sistemas de seguridad, bueno cuando no se puede repetir un numero, pero si se puede repetir olvídate son un dolor de cabeza.
Como siempre los genios redactando mal las preguntas y cuando hay sentido común por parte de quien responde ahí viene mas interrogantes que hacen perder mas tiempo sobre todo cuando es una prueba o un exámen para medir conocimientos.
Hola Rober,
A mi me dio mucho que pensar, no solo por el problema si no por el pequeño detalle de la educación. Me hace desconfiar de los que están evaluando y del sistema de enseñanza.
Saludos 🙂
mi respuesta seria 48, porque la redaccion dice que cada digito puede ser un numero diferente, entonces tenemos que el 2,1,6 son 3, luego 10,12,16 otros 3, 20,21,26, otros 3 y asi sucesivamente con cada posible combinación de numeros (llegué hasta los 6201,6210,6102,6120,6012,6021). Lo pensé mas a modo de teoria de conjuntos que de permutacion.
Hola Silvano,
NO NO NOOOOOOO dice ¿Cuántos números distintos se pueden formar?, me he dado cuenta que algunas respuestas tienen fundamento pero es suponiendo varias cosas que no se aclaran en la redacción del problema. Me hubiera gustado saber cual es la respuesta que consideran “correcta” las personas que escribieron el examen.
Saludos.
Buenas tardes analizando el problema mi lógica dice que son 48 combinaciones.
La pregunta dice ¿Cuántos números distintos se pueden formar de 2016
Agarrando cualesquiera de sus dígitos para formar un nuevo, por ejemplo, el 2, el 61, el 102, etc. Nunca dice que los dígitos se pueden repetir.
Por ejemplo 11, 22, etc. Imagínense serían infinitos.
Únicamente que se agarren los digitos. 2016. Unicamente combinar esos 4 numeros. Quedaría así:
1
2
6
10 12 16
20 21 26
61 60 62
102
106
120
160
162
126
201
206.
216
260
261
210
601
602
621
612
610
620
1620
1602
1062
1026
1206
1260
2016
2061
2610
2601
2106
2160
6120
6102
6021
6012
6210
6201
Y volvemos a lo mismo Gabriel, ¿Dónde dice que te tienes que limitar a números de 4 cifras?.
Bueno, tampoco dice que hay que reetirlos.
Si no esta prohibido, esta permitido.